物理学では、変位や力、速度などの量に頻繁に遭遇する。これらは大きさだけでなく方向も持つ。数学では、大きさと方向の両方を持つ量をベクトル（vector）と呼び、大きさだけを持ち方向を持たない量（例：質量、時間、長さ）はスカラー（物理学ではスカラーと呼ばれる）。
ベクトルの幾何的表現と基本的概念
ベクトルを直感的に研究するために、方向を持つ線分、すなわち有向線分（directed line segment） を使って表現する。有向線分には3つの要素がある：始点、方向、長さ。
- ベクトルの長さ： ベクトル $\vec{AB}$ の大きさをベクトルの長さ（またはモジュール）といい、$|\vec{AB}|$ と表記する。
- 特殊なベクトル： 長さが0のベクトルはゼロベクトル（zero vector）と呼ばれ、$\mathbf{0}$ で表記される。長さが1単位のベクトルは単位ベクトル（unit vector）と呼ばれる。
- 位置関係： 方向が同じか反対の非ゼロベクトルは平行ベクトル（parallel vectors）とも呼ばれ、同一直線上ベクトル（collinear vectors）と規定される。ゼロベクトル $\mathbf{0}$ は任意のベクトルと平行である。
ベクトルの核心は「位置からの自由」にある。長さが等しく、方向が同じであれば、始点がどこにあっても、それらは等しいベクトルと呼ばれる。
$$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} \iff |\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| \text{ かつ方向が同じ}$$